Hierbei ist im Verfahren auf Erlass einer einstweiligen Verfügung jedoch zu beachten, dass alle Wirkungen der Rechtshängigkeit - also auch die Begründung des Prozessrechtsverhältnisses - bereits mit der Einreichung der Antragsschrift bei Gericht (Anhängigkeit) eintreten (OLG Hamburg, Beschluss vom 23.10.2013, Az.: 4 W 100/13, u.a. in: NJW-RR 2014, Seiten 157 f.; OLG Köln, Urteil vom 12.01.2001, Az.: 6 U 98/00, u.a. in: GRUR 2001, Seiten 424 ff.; OLG München, Beschluss vom 02.11.1992, Az.: 6 W 2274/92, u.a. in: NJW 1993, Seite 1604; KG Berlin, Beschluss vom 19.01.1993, Az.: 1 W 5005/92, u.a. in: MDR 1993, Seiten 481 f.; OLG Düsseldorf, Beschluss vom 20.03.1992, Az.: 3 WF 7/92, u.a. in: FamRZ 1992, Seiten 961 f.; KG Berlin, Beschluss vom 15.09.1987, Az.: 1 W 1631/87, u.a. in: MDR 1988, Seiten 239 f.; LG Braunschweig, Urteil vom 08.01.2002, Az.: 6 S 510/01 (143), u.a. in: WuM 2002, Seite 221; AG Brandenburg an der Havel, Beschluss vom 05.07.2018, Az.: 31 C 107/18, u.a. in: Grundeigentum 2018, Seiten 1155 f.; AG Weilheim, Urteil vom 24.09.1984, Az.: 1 C 662/84, u.a. in: MDR 1985, Seite 148;… Baumbach/Lauterbach/Albers/Hartmann, ZPO-Kommentar, 78. Auflage 2020, § 91a ZPO, Rn. 42;… Jaspersen, in: BeckOK ZPO, Vorwerk/Wolf, 32. Edition, Stand: 01.03.2019, § 91a ZPO, Rn. 22;… Althammer, in: Zöller, Zivilprozessordnung, 33. Auflage 2020, § 91a ZPO, Rn. 6 und Rn. 58.5).

Im Verfahren auf Erlass einer einstweiligen Verfügung - so wie hier - treten alle Wirkungen der Rechtshängigkeit - also auch die Begründung des Prozessrechtsverhältnisses - aber bereits mit der Einreichung der Antragsschrift bei Gericht (Anhängigkeit) ein (OLG Hamburg, Beschluss vom 23.10.2013, Az.: 4 W 100/13, u.a. in: NJW-RR 2014, Seiten 157 f.; OLG Köln, Urteil vom 12.01.2001, Az.: 6 U 98/00, u.a. in: GRUR 2001, Seiten 424 ff.; OLG München, Beschluss vom 02.11.1992, Az.: 6 W 2274/92, u.a. in: NJW 1993, Seite 1604; OLG Düsseldorf, FamRZ 1992, Seite 962; KG Berlin, JurBüro 1993, Seite 486; KG Berlin, MDR 1988, Seite 239; LG Braunschweig, WuM 2002, Seite 221; AG Weilheim, MDR 1985, Seite 148;… Baumbach/Lauterbach/Albers/Hartmann, ZPO-Kommentar, 76. Auflage 2018, § 91a ZPO, Rn. 42;… Jaspersen, in: BeckOK ZPO, Vorwerk/Wolf, 28. Edition, Stand: 01.03.2018, § 91a ZPO, Rn. 22).

Zwar ist - entgegen der von der Antragstellerin vertretenen Auffassung - mit Einreichung des Arrestantrages bei Gericht bereits - anders als bei einer normalen Klage - die Rechtshängigkeit eingetreten (…herrschende Meinung, vgl. Zöller/Vollkommer, 18. Aufl., vor § 916 ZPO, Rn. 5; KG MDR 88, 239; OLG Düsseldorf NJW 1981, 2824 f. [OLG Düsseldorf 22.09.1981 - 6 W 43/81]; OLG München NJW 1993, 1604 [OLG München 02.11.1992 - 6 W 2274/92]).

Die Rechtsprechung hat im Arrest- bzw. einstweiligen Verfügungsverfahren zwar auch dann eine Kostenentscheidung nach § 269 Abs. 3 ZPO für zulässig gehalten, wenn der Antragsgegner noch nicht durch eine gerichtliche Maßnahme in das Verfahren einbezogen worden ist (vgl. OLG Düsseldorf NJW 1981, 2824 f. [OLG Düsseldorf 22.09.1981 - 6 W 43/81]; FamRZ 1992, 961 f.; KG MDR 1988, 239 f.; OLG München NJW 1993, 1604 [OLG München 02.11.1992 - 6 W 2274/92]), dies aber grundsätzlich davon abhängig gemacht, daß zuvor eine Schutzschrift eingereicht worden war.

Im hier vorliegenden einstweiligen Verfügungsverfahren ist die Rechtshängigkeit bereits mit der Einreichung des Verfügungsantrages eingetreten (vgl. etwa KG MDR 1988, 239 und JurBüro 1993, 486; OLG Düsseldorf FamRZ 1992, 962 und JZ 1995, 316; OLG München NJW 1993, 1604;… Zöller/Vollkommer, ZPO Rdnr. 5 vor § 916).

Im Falle einer einseitigen Erledigungserklärung - wie hier - muss das Gericht somit jetzt im ordentlichen Streitverfahren prüfen, ob die Hauptsache des Verfahrens erledigt ist, ob also der eingereichte Antrag auf Erlass einer einstweiligen Verfügung zulässig und begründet war und nur durch ein nach der Rechtshängigkeit des Verfahren eingetretenes Ereignis gegenstandslos geworden ist (BGH, Urteil vom 19.06.2008, Az.: IX ZR 84/07, u. a. in: NJW 2008,Seiten 2580 f.; BGH, Versäumnisurteil vom 13.09.2005, Az.: X ZR 62/03, u. a. in: NJW-RR 2006, Seiten 544 ff.; BGH, NJW 1989,Seiten 2885 ff.; BGH, BGHZ 91, Seiten 126 f.; OLG Köln, GRUR 2001, Seiten 424 ff. = OLG-Report 2001, Seiten 313 ff.), wobei im Verfahren auf Erlass einer einstweiligen Verfügung alle Wirkungen der Rechtshängigkeit - also auch die Begründung des Prozessrechtsverhältnisses - bereits mit der Einreichung der Antragsschrift bei Gericht (also schon mit der Anhängigkeit) eintreten (OLG Köln, GRUR 2001,Seiten 424 ff. = OLG-Report 2001, Seiten 313 ff.; OLG München, NJW 1993, Seite 1604 = MDR 1993, Seiten 687 f.; LG Braunschweig, WuM 2002, Seite 221; AG Weilheim, MDR 1985, Seite 148;… Zöller-Vollkommer, ZPO-Kommentar, 30. Auflage 2014, § 91a ZPO, Rn. 6;… Baumbach/Lauterbach/Albers/Hartmann, ZPO-Kommentar, 73. Auflage 2015, § 91a ZPO, Rn. 42) und ein erledigendes "Ereignis" im o.g. Sinne eine Tatsache mit Auswirkungen auf die materiell rechtlichen Voraussetzungen der Zulässigkeit oder Begründetheit des Antrags ist (BGH, Versäumnisurteil vom 13.09.2005, Az.: X ZR 62/03, u. a. in: NJW-RR 2006, Seiten 544 ff.; BGH, BGHZ 83, Seiten 12 f.; BGH, BGHZ 135, Seiten 58 ff.; BGH, BGHZ 155, Seiten 392 ff.; OLG Köln, WRP 1985, Seite 661).